 ２回繰り返しゲーム |
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今回は囚人のジレンマを2回繰り返すゲームを考えます。
前回のように後ろ向きに考えれば、まず2回目のゲームは1回きりの囚人のジレンマと同じなので （裏切り, 裏切り） 、そしてそれがわかっているので1回目のゲームでも （裏切り, 裏切り） というふうになります。
今回はこの2回繰り返しゲームをツリーを使って考えてみたいとおもいます。
◆情報集合 まず1回きりの囚人のジレンマをツリーで表す方法です。
これはまず場合分けの要領で考えます。 マキが協調の場合、マキが裏切りの場合に分けるのです。 そしてそれぞれの場合でヒトミが協調の場合、ヒトミが裏切りの場合を考えます。 すると下のようなツリーで表現することができます。
ところがこれはマキが先に動いてヒトミが後に動く交互行動ゲームと区別ができません。 囚人のジレンマではヒトミはマキの決定を知らないのです。 ツリーで言えば自分がどっちの点にいるかわからないのです。 どうすればよいのでしょう。 これは2つの点を丸で囲んでおけばよいのです。 こうすれば囚人のジレンマをツリーで表現することができます。
これはマキを先頭にしてかきましたが、ヒトミを先頭にしてかいてもよいです。
ここで点を丸で囲んだものを情報集合といいます。
◆2回繰り返しゲーム まず、簡略化のために、1回きりの囚人のジレンマを下のようにかいておきます。
では、2回の繰り返しゲームをツリーで表す方法を考えます。 これは、上のツリーの4つの末端に、上と同じツリーをくっつければよいのです。
◆部分ゲーム ここで、ツリーの右上の部分
を見てください。 いま、この部分だけをゲームとして分析することができます。 すなわちつぎのゲームです。
そして、このゲームでナッシュ均衡は（裏切り, 裏切り）です。 このようにツリーの中で切り離して分析できる部分を部分ゲーム（subgame）といいます。ツリーの中には全部で5つの部分ゲームがあります。 全体のゲームも部分ゲームといいます。 上から2番目の部分ゲームも同様に考えます（下の4つのツリーのうち左下のツリー）。 マキは c をとると 3 or 0 、 d をとると 5 or 1 なので d が支配戦略（絶対優位の戦略）です。 ヒトミも c をとると 8 or 5 、 d をとると 10 or 6 なので d が支配戦略です。 したがって (d, d) がナッシュ均衡になります。 上から3番目、4番目の部分ゲームも同様に考え (d, d) がナッシュ均衡になります。
◆部分ゲーム完全均衡 最後に、いちばん左の点から始まる部分ゲーム、すなわち全体のゲームを考えます。
ところが、上で求めたように、すでに2回目以降のゲームの流れは決まっているので、 いちばん左の点から始まる部分ゲームというのはつぎのようにかけます。
この部分ゲームでナッシュ均衡は（裏切り, 裏切り）です。 けっきょくマキもヒトミも常に裏切るというのが部分ゲーム完全均衡になります。
◆囚人のジレンマの有限回繰り返し 3回繰り返しゲームを考えます。 まず第3期から始まる16個の部分ゲームは（裏切り, 裏切り）です。 最初の縮約で2回繰り返しゲームと同じ利得構造になります。 よって第2期から始まる4個の部分ゲームは（裏切り, 裏切り）になります。 つぎの縮約で1回きりの囚人のジレンマと同じ利得構造になります。 よって第1期から始まる1個の部分ゲームは（裏切り, 裏切り）になります。
こうして 3回繰り返しゲームでも「常に裏切る」の組が部分ゲーム完全均衡になることがわかります。 4回繰り返しゲームでも5回繰り返しゲームでも同じように考えていけます。 囚人のジレンマの有限回繰り返しでは それぞれのプレーヤーが常に裏切るというのが 唯一の部分ゲーム完全均衡になります。
◆参考文献
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