中心極限定理

いま、二項分布 B(n, 1/241) を考えます。 二項分布のグラフは n が大きくなるにしたがってベル形の曲線に近づきます。

ベルヌーイ試行に対する中心極限定理は古くから知られています。 ド・モアブル−ラプラスの定理　　成功の確率が p である n 回のベルヌーイ試行において、 Sn をその成功の回数とすると、 n が十分に大きいとき は近似的に標準正規分布に従う。 平均 np 、分散 npq の正規分布 N(np,npq) に近づくということなので、 上のように標準化された Sn* は標準正規分布に従います。 ◆一般の中心極限定理は次のようなものです。 確率変数 Xk の和 �嚢k の分布、 あるいは平均 �嚢k/n の分布は正規分布に近づく。 中心極限定理　 いかなる分布でも、その標本平均は、標本サイズ n が大きくなるにつれて、平均μ、標準偏差 σ/√n の正規分布に近づく。 あるいは 中心極限定理　 いかなる分布でも、その標本平均 を標準化した は、標本サイズ n が大きくなるにつれて、 平均 0 、標準偏差 1 の正規分布に近づく。 これはすごいことです。どんな分布でもその平均は正規分布というのですから、 驚きです。 ◆二項分布の場合は次のように考えます。 いま、BIGの確率を 1/241 とします。 BIGを○、ハズレを×で表すとします。いま10プレイ打って次のような結果だったとします。 ｛××○×××××××｝ ○×では扱いにくいので、 1, 0 で表すことにしましょう。つまり、BIGなら1点、ハズレなら0点とするのです。 ｛0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0｝ 合計得点は1点。 ところで、 1, 0 は確率変数です。 よって合計得点は 10個の確率変数の和と考えられます。 合計得点はBIG回数に等しいです。 よって、BIG回数の分布は、 確率変数の和の分布と考えることができます。 そこで中心極限定理は、 Sn = X1 + X2 + … + Xn とすれば、 Sn（BIG回数） あるいは Sn/n （BIG出現率） が正規分布に近づくと言っているのです。 大数の法則が Sn/n → μ と言っているのに対し、 中心極限定理は Sn/n の分布が正規分布に近づくと言っています。