無限級数の和
いまBIG確率を p とすると、平均して p-1 プレイはまります。 つまりハマリの期待値は p-1 です。いいかえると、 当たるまでの平均プレイ数は p-1 です。 いまBIG確率を 1/241 としましょう。 当たるまでのプレイ数の期待値は
M ＝ （1×1プレイ目で当たる確率）＋（2×2プレイ目で当たる確率）＋（3×3プレイ目で当たる確率）＋ ・・・
（Excel で n=5000 ぐらいまでの和をとってみると、 241 に収束することがわかります。）
★無限級数の和の計算
S = Σ[n=1,∞]n(240/241)n-1 を計算します。それにはまず部分和Snをつくります。 Sn = 1(240/241)0 + 2(240/241)1 + ・・・ + n(240/241)n-1 (240/241)Sn を作って差をとります。 (240/241)Sn = 1(240/241)1 + 2(240/241)2 + ・・・ + (n-1)(240/241)n-1 + n(240/241)n (1/241)Sn = { (240/241)0 + (240/241)1 + (240/241)2 + ・・・ + (240/241)n-1 } - n(240/241)n Sn = 241 [{ (240/241)0 + (240/241)1 + (240/241)2 + ・・・ + (240/241)n-1 } - n(240/241)n] この部分和に対して n → ∞ とすると、 { } の中は初項 1 、公比 240/241 の無限等比級数なので和は 1/(1-(240/241)) = 1/(1/241) = 241 。また n(240/241)n → 0 （ Excel で n=106 ぐらいを計算してみると 0 に収束することがわかります ）
したがって n → ∞ で Sn → 2412
∴ M = 241 ★無限級数の和の公式
これは公式を使うと簡単です。
より M = (1/241)(1/241)-2 = (1/241)-1 = 241 （公式の証明） まず部分和Snをつくります。 Sn = 1r0 + 2r1 + ・・・+ nrn-1 rSn を作って差をとります。 rSn = 1r1 + 2r2 + ・・・ + (n-1)rn-1 + nrn (1-r)Sn = { r0 + r1 + r2 + ・・・ + rn-1 } - nrn Sn = (1-r)-1 [{ r0 + r1 + r2 + ・・・ + rn-1 } - nrn] ここで -1 < r < 1 とします。 このとき、この部分和に対して n → ∞ とすると、 { } の中は初項 1 、公比 r の無限等比級数なので和は 1/(1-r)=(1-r)-1 。また nrn → 0 よって Sn → (1-r)-2
まとめると下のようになります。
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